基礎数学例

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y = 7$

ステップ 1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y - 7 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 1$ 、 $b = - 10$ 、および $c = x^{2} + 4 x - 7$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 7))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

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ステップ 4.1.4.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.2

$- 4$ に $- 7$ をかけます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 16 x + 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

$100$ と $28$ をたし算します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6

因数分解した形で $- 4 x^{2} - 16 x + 128$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2} - 16 x + 128$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.6.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.3

$4$ を $128$ で因数分解します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (32)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (32)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.5

$4$ を $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (32)$ で因数分解します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2

群による因数分解。

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ステップ 4.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.6.2.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.1.2

$- 4$ を $4$ プラス $- 8$ に書き換える

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (4 - 8) x + 32)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 4 x - 8 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 4 x) - 8 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (x (- x + 4) + 8 (- x + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.3

最大公約数 $- x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 ((- x + 4) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7

$4 (- x + 4) (x + 8)$ を $2^{2} ((- x + 2^{2}) (x + 8))$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2^{2}) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7.3

括弧を付けます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2^{2}) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 2^{2}) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2}$ を簡約します。

$y = 5 \pm \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 5 + \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

$y = 5 - \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

基礎数学 例

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